Estatística

O que é?

É a área da Matemática que coleta, analisa e interpreta dados numéricos para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais. O estatístico planeja e coordena o levantamento de informações por meio de questionários, entrevistas e medições. Organiza, analisa e interpreta os resultados para explicar fenômenos sociais, econômicos ou naturais. Cabe a ele montar banco de dados para os mais diversos usos. Na indústria, acompanha os testes de qualidade, ajuda a fazer previsão de vendas e desenvolve modelos matemáticos para ajustá-los a situações práticas.

Conceitos e Fundamentos

População: conjunto de elementos, número de pessoas de uma cidade.

Amostra: parte representativa de uma população.

Variável: depende da abordagem da pesquisa, da pergunta que será feita. Exemplo: Qual sua marca de carro favorita? Ford, Volks, Fiat, Peugeot, Nissan são alguns exemplos de resposta.

Frequência absoluta: valor exato, número de vezes que o valor da variável é citado.

Frequência relativa: valor representado através de porcentagem, divisão entre a frequência absoluta de cada variável e o somatório das frequências absolutas.

Medidas de tendência central

Média aritmética: medida de tendência central. Somatório dos valores dos elementos, dividido pelo número de elementos.

Média aritmética ponderada: Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos pesos, dividido pela soma dos pesos atribuídos.

Moda: valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete.

Mediana: medida central em uma determinada sequência de dados numéricos.

Medidas de dispersão

Amplitude: subtração entre o maior valor e o menor valor dos elementos do conjunto.

Variância: dispersão dos dados variáveis em relação à média.

Desvio Padrão: raiz quadrada da variância. Indica a distância média entre a variável e a média aritmética da amostra.

Probabilidade

Os primeiros registros sobre probabilidade vêm do antigo Egito, dos jogos em que se utilizava um dado com quatro faces denominado astragali.

Segundo o historiador Plutarco, o imperador romano Júlio César jogou dados com os senadores antes de dissolver o Senado e torna-se imperador. Em certa ocasião, Júlio César proferiu sua famosa frase Alea jecta est,que significa "A sorte está lançada."

Espaço Amostral:

O conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado Espaço Amostral, é representado por E e o número de elementos por n(E).

Um subconjuntos formado do espaço amostral é denominado evento, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto, A,B,C,..., e o número de elementos desse subconjunto por n(A), n(B), n(C), ...,respectivamente.

EXERCÍCIOS :

Questão 1

No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

Questão 2

Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo. 

Questão 3

Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições:

a) par

b) primo

c) par ou primo

d) par e primo

Questão 4

Um teste de múltipla escolha é composto de 12 questões, com 5 alternativas de resposta, sendo que somente uma, é correta.  Calcule a probabilidade de uma pessoa, marcando aleatoriamente as 12 questões, acertar pelo menos metade das respostas. 

Questão 5

Uma moeda é lançada 10 vezes. Determine a probabilidade de sair “coroa” 7 vezes. 

Respostas

Resposta Questão 1

Para que a soma seja 6, precisamos das seguintes faces: {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}. E considerando que o espaço amostral do lançamento de dois dados e representado pela multiplicação 6 * 6 = 36, temos a seguinte probabilidade:

A probabilidade é de 5/36, aproximadamente 13,88% de chance. 

Resposta Questão 2

Divisores de 60: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Temos um espaço amostral de 12 elementos, dos quais 3 são primos. Portanto, a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo dentro dos divisores do número 60, será dada por:

A probabilidade é de 25% de chance. 

Resposta Questão 3

Espaço amostral: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

a) No espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares.

P = 7/15 = 0,466 = 46,6%

b) Temos 6 números primos dentre o espaço amostral de 15 números.

P = 6/15 = 0,4 = 40%

c)

Número par = 7 possibilidades entre 15

Número primo = 6 possibilidades entre 15

Par ∩ primo = 1

P(par) + P(primo) – P (par ∩ primo)

d) Dentro do intervalo dado, temos um único número que satisfaz a condição de ser par e primo ao mesmo tempo, que é o número 2. Portanto, temos a seguinte probabilidade:

Resposta Questão 4

As chances de acerto são 1 em 5, que corresponde a 0,2 ou 20%.

As chances de erro são 4 em 5, que corresponde a 08 ou 80%.

Nesse caso, vamos utilizar a fórmula do método binomial:

Vamos considerar acertos (p) e erros (q), então:

Ele possui 1,55% de chance de acertar metade das questões. 

Resposta Questão 5

Chance de sair cara = 1/2

Chance de não sair cara (sair coroa) = 1/2

 

Binômio de Newton

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, para complementar o estudo de produto notável, o qual diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio, ou seja:

                          (a + b)² = a² + 2ab + b²

Porém quando o expoente for um número maior usamos um método para desenvolver a enésima potência de um binômio. Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Sendo n e p dois números naturais (n maior ou igual a p), chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por , temos então que:

O coeficiente binomial também também é chamado de número binomial. Por analgia com as frações dizemos que n é o seu numerados e p o denominador, portanto:

Para qualquer n natural, temos:

Os coeficientes binomiais possuem algumas propriedades, as quais dizem que:

Complementares:

Se n, p, k   e p + k = n então

Relação de Stiffel:

Se n, p, k   e p  p-1  0 então 

Os coeficientes binomiais podem ser organizados no triângulo de Pascal da seguinte forma:

Note que na organização do triângulo, os numeradores iguais se encontram numa mesma linha e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.

Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:

De acordo com o binômio de Newton, temos então a seguinte forma geral para o desenvolvimento das expressões na forma (a + b)n com n > 3:

Exercícios:

01. (x + y)3

02. (x - y)4

03. (2x + 1)5

04. (x - 2)6

Gabarito:

1)       x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

2)      x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4

3)      32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1

4)     x6 - 12x5 + 60x4  - 160x3 + 240x2 - 192x + 64

Análise Combinatória

Hoje iremos falar sobre análise combinatória, que nada mais é do que o estudo da matemática e da lógica responsável por analisar possibilidades e combinações em uma determinada situação. Como análise combinatória é um assunto bastante profundo devemos tratar de diversas propriedades:

Princípio fundamental da contagem, que é o número total de possibilidades de ocorrer um fato ou acontecimento, dado pelo produto x¹. x². x³. ... . xn.

Fatorial de um número natural que é representado por n!, pode ser definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 a n. Assim, n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . .... . 3 . 2 . 1

Permutação simples que são agrupamentos que podem ser formados com certo número de elementos diferentes, tal que se distinguem entre si pela ordem de seus elementos. O número de permutações desses elementos, é representado por Pn é determinada por : Pn = n!

Permutações com repetições, é diferente da simples, já que os elementos repetidos permutam entre si. Então a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n¹ vezes, n² vezes e nnvezes. É calculada da seguinte maneira :

Arranjo simples que se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos, pois eles são levadas em consideração. Então um arranjo com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

Combinações simples de n elementos escolhidos de p a p são agrupamentos formados de um conjunto de n elementos. Essas combinações se diferenciam pela natureza de seus elementos, mas não pela ordem. Pode ser determinado da seguinte maneira :

→Para Exercitar:

1) Uma confeitaria produz 6 tipos diferentes de bombons de frutas. O número de embalagens diferentes que ela pode formar, sabendo que em cada embalagem deve conter 4 tipos diferentes de bombons, é:

   a) 10

   b) 30

   c) 120

   d) 45

   e) 15

2) Em relação aos anagramas da palavra "cidade", assinale o que for correto:

  (01) Em 72 anagramas as vogais aparecem juntas

  (02) Podem ser formados 360 anagramas

  (04) Em 72 anagramas as consoantes aparecem juntas

  (08) 60 anagramas começam com "c"

  (16)180 é o número de anagramas que começam por vogal

3) Considere os algarismos 2, 3, 4, 6 e 9. Quantos múltiplos de 3 com quatro algarismos distintos podemos obter usando apenas os algarismos acima?

  a) 64

  b) 62

  c) 72

  d) 74

  e) 66

4) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861

b) 1722

c) 1764

d) 3444

e) 242

5) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36

b) 48

c) 52

d) 54

e) 56

GABARITO:

1) e   2) 01, 02, 04, 08, 16   3) c   4) b   5) e

Matrizes

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas, colunas e números reais, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:

Tipos de matrizes:

• Matriz Linha: Só uma linha ( 1 x n )

|7|, matriz de ordem 1 x 1. (1 linha e 1 coluna).

• Matriz Coluna: Só uma coluna ( m x 1)

, matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas).

• Matriz Unitária: Só um elemento ( 1 x 1 )

, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

• Matrizes retangulares: m diferente n

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

• Matrizes quadradas: m igual n. 

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal, o número de linhas e colunas sempre vão ser iguais isso é chamado de ordem, ou seja, uma matriz 3 x 3 é uma matriz de 3ª ordem.

• Matrize Identidade: ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero.  

Depois de entender os conceitos básicos de matrizes, por meio das videoaulas do canal Me Salva!, vamos entender mais algumas informações das matrizes:

 Lei de Formação:

 Operações de soma, subtração, igualdade de matrizes

Matrizes transpostas e simétricas

 Multiplicação de matrizes passo a passo

Agora, para fixar um pouco mais o que aprendemos neste post, vamos fazer alguns exercícios logo abaixo:

•  Dadas as matrizes,  e determine a matriz D resultante da operação A + B – C.

• Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 são dados por aij, onde: i + j, se i ≠ j e 0, se i = j. Determine M + M.

• (PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.

Resolução

Determinante

Na matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.1 Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. 

nas matrizes de ordem 2 x 2, calculamos o determinante de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal principal do produto da diagonal secundária. Nas matrizes de ordem 3 x 3 utilizamos a regra de Sarrus descrita anteriormente.

Demonstração geral da Regra de Sarrus :

Geometria Espacial

Geometria espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas e temos como exemplo:

• Poliedro: são chamamos de poliedros o sólido limitados por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Eles são subdivididos em:

Convexos: considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Eles possuem nomes especiais de acordo com a quantidade de faces, como 

tetraedro: quatro faces

pentaedro: cinco faces

hexaedro: seis faces

heptaedro: sete faces

octaedro: oito faces

icosaedro: vinte faces

Côncavos: em relação a duas ou mais de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço:

• Prisma: de acordo com as imagens, temos que prisma é o conjunto de todos os seguimentos congruentes a PP e paralelos a r.

• Cilindro: de acordo com a imagem, temos que cilindro é o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.

• Cone: dado um círculo C, contido num plano α , e um ponto V ( vértice) fora de α  chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos PV, P∈C , como exemplicado:

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, por exemplo

• Pirâmide: Dados um polígono convexo R, contido em um plano α,  e um ponto V      (vértice) fora de α  chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos PV, P∈R.

• Esfera: chamamos de esfera, o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menos ou igual ao raio. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior, como exemplificado na imagem: