Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, para complementar o estudo de produto notável, o qual diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio, ou seja:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Porém quando o expoente for um número maior usamos um método para desenvolver a enésima potência de um binômio. Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
Sendo n e p dois números naturais (n maior ou igual a p), chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por , temos então que:
O coeficiente binomial também também é chamado de número binomial. Por analgia com as frações dizemos que n é o seu numerados e p o denominador, portanto:
Para qualquer n natural, temos:
Os coeficientes binomiais possuem algumas propriedades, as quais dizem que:
Complementares:
Se n, p, k  e p + k = n então  |
Relação de Stiffel:
Se n, p, k
e p 
p-1 0 então 
Os coeficientes binomiais podem ser organizados no triângulo de Pascal da seguinte forma:
Note que na organização do triângulo, os numeradores iguais se encontram numa mesma linha e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.
Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:
De acordo com o binômio de Newton, temos então a seguinte forma geral para o desenvolvimento das expressões na forma (a + b)n com n > 3:
Exercícios:
01. (x + y)3
02. (x - y)4
03. (2x + 1)5
04. (x - 2)6
Gabarito:
1) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
2) x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4
3) 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1
4) x6 - 12x5 + 60x4 - 160x3 + 240x2 - 192x + 64
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