Geometria Euclidiana

Bom na matemática, a geometria euclidiana é a geometria em duas ou três dimensões baseada nos postulados de Euclides de Alexandria. Para estudarmos a geometria euclidiana iremos usar alguns conceitos vistos na geometria plana: o ponto, reta e plano. Antes de nos aprofundar em cada detalhe da geometria euclidiana, devemos primeiramente conhecer o conceito de postulados ou axiomas, que nada mais é do que preposições primitivas geométricas aceitas sem demostração.

• Postulados:

1. Dada uma reta r, há vários pontos pertencentes a ela e vários outros não pertencentes a ela. Quando existem dois ou mais pontos pertencentes a uma mesma linha temos pontos colineares ou alinhados.
2. Dado um plano α, existem infinitos pontos que pertencem a ele e infinitos pontos não pertencentes a ele. Quando existem dois ou mais pontos pertencentes a um mesmo plano temos pontos coplanares.
3. Dados dois pontos distintos, existe uma, e somente uma, reta r que passa por eles. Assim, dois pontos distintos sempre serão colineares, e também determinarão uma reta.
4. Se dois pontos distintos pertencem a um plano α, então a reta r que passa pelos pontos está contida ao plano α.
5. Dados três pontos distintos que não pertencem à mesma reta existe um único plano α que passa pelos três pontos.
6. Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas.
7. Conhecido como postulado de Euclides ele afirma que dados um reta r e um ponto P que não pertencem à mesma reta existe uma, e somente uma, reta s paralela a reta r, passando pelo ponto P.
8. Um ponto P que pertence a uma reta r, divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P.
9. Uma reta r que está em um plano α, divide-o em dois semiplanos opostos cuja origem é r.

• Posições relativas entre ponto, reta e plano:

1. Um ponto e uma reta: pode pertencer ou não a uma reta.
2. Um ponto e um plano: pode pertencer ou não a uma plano.
3. Duas retas: se forem complanares, ou seja, pertencerem ao mesmo plano podem ser paralelas, ou seja, são coplanares e não tem ponto em comum, ou podem ser concorrentes, ou seja, têm um único ponto em comum, assim duas retas concorrentes que formam angulo de 90° são chamadas de perpendiculares; se forem reversas, ou seja, não forem coplanares,dadas duas retas reversar pode-se passar uma reta perpendicular a ambas, além de que se essas retas reversas quando formam ângulo reto são denominadas retas ortogonais.
4. Dois planos: paralelos caso não haja nenhum ponto em comum entre dois planos distintos; concorrentes ou secantes caso haja em comum uma reta entre dois planos distintos.
5. Uma reta e um plano: reta paralela ao plano caso não tenha nenhum ponto em comum com o mesmo; reta contida no plano caso todos os pontos da reta pertençam ao plano; reta concorrente a um plano caso a intersecção entre o plano e a reta seja somente um ponto;

• Determinação de um plano:

1. Por três pontos não colineares, conclui-se que são coplanares e cobre eles passa um único plano.
2. Duas retas paralelas.
3. Duas retas concorrentes.
4. Uma reta e um ponto fora dela.

• Perpendicularidade:

1. Uma reta e um plano: quando a reta dor perpendicular a duas retas concorrentes do plano; quando a reta for perpendicular a uma reta e ortogonal a outra, sendo concorrentes do plano α; quando a reta for ortogonal às retas concorrentes do plano.
2. Dois planos: quando uma reta de um dos planos for perpendicular ao outro plano.

Bom pessoal por hoje é só, como sabemos que este assunto pode confundir muitos alunos colocamos alguns exercícios para fixar e praticar aqui, depois de resolvê-los confira o gabarito no final do post :)

1) Sejam r e s duas retas do espaço, não concorrentes. Pode-se afirmar que:

       (A) r e s não são ortogonais.

       (B) r e s são ortogonais.

       (C) r e s são reversas.

       (D) r e s são paralelas.

       (E) existe uma perpendicular comum à r e s.

2) Na determinação de um plano, são suficientes os elementos a seguir:

       (A) Duas retas distintas.

       (B) Uma reta e um ponto.

       (C) Duas retas reversas.

       (D) Duas retas concorrentes.

       (E) N.d.a.

3) Considere as sentenças que seguem:

I. Se dois planos têm um ponto em comum, então terão também outro ponto comum, distinto do primeiro.

II. Três pontos distintos determinam um único plano.

III. A distância entre dois pontos de uma reta é um número real que depende da unidade de medida escolhida.

Assinale a alternativa correta:

    (A) Apenas a II é a falsa.

    (B) I e II são falsas.

    (C) II e III são verdadeiras.

    (D) I, II e III são falsas.

    (E) Apenas a I é verdadeira.

4) Se r é uma reta oblíqua ao plano P, quantos são os planos que contêm r e são perpendiculares a P?

      (A) 0

      (B) 1

      (C) 2

      (D) 4

      (E) Infinitos

5) A seguir foram feitas afirmações sobre geometria espacial, assinale a(s) correta(s).

          1) Toda reta paralela a dois planos, não paralelos, é paralela à interseção deles.

        2) Toda reta que contém dois pontos de um plano pertence a esse plano.

      4) A partir de quatro pontos não coplanares, são definidos exatamente quatro planos distintos.

         8) Três retas concorrentes num único ponto definem um único plano.

         16) Toda reta perpendicular a duas retas não paralelas, pertence ao plano definido por essas duas retas não paralelas.

GABARITO:

1) E   2) D   3) E  4) B  5) 1, 2, 4

Geometria Plana

Ooi gente, estamos aqui para um novo post :) Vamos lá, imagine a seguinte situação:

Aproveitando uma promoção de uma loja de materiais para construção, o dono de um Hotel Fazenda resolve trocar o piso da sala de recepção. Sabem que a sala mede 4 metros de largura e possui um comprimento de 5,5 metros. Sabem também que o ladrilho desejado é quadrado, com 25 cm de lado. Quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar o piso da sala inteira? Área é a denominação dada à medida de uma superfície. Na situação acima estamos nos referindo às áreas da sala e do ladrilho. 

Partindo-se deste princípio, o nosso problema se resume ao cálculo da razão entre as áreas da sala e do ladrilho. Para que você saiba solucionar, dentre outros, o problema acima, vamos então nos atentar ao método de cálculo da área das figuras geométricas planas mais comuns. Porém, antes, vamos entender melhor os conceitos geométricos primitivos da Geometria Plana são os seguintes:

• Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Diz-se que o ponto não tem dimensão. A única propriedade do ponto é a localização. Imagine um ponto, o menor que você puder. Diz-se que o ponto não tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. Toda a figura geométrica é considerada um conjunto de pontos. Representa-se o ponto por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto latino.

• Reta: não tem origem nem extremidade; é infinita, por isso não é possível determinar o seu comprimento; é um conjunto infinito de pontos. Dois pontos determinam uma reta. Uma linha traçada com régua é uma linha reta. Representa-se uma reta por qualquer letra minúscula do alfabeto.

• Plano: você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. A superfície de uma mesa é plana. Representa-se um plano por letras gregas minúsculas.

• Linha: imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha.

Depois de entender a definição das características básicas que compõe uma forma geométrica, vamos entender como se calcula a área:

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados. Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base. 
A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

S = b . h / 2


A letra S representa a área ou superfície do triângulo. No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula: 

S = l² √¯ 3 / 4

Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo. Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo: 

S = b . h

Sistema Lineares

O estudo de sistemas lineares ou, como costumamos chamá-los, sistema de equações lineares, desenvolveu-se no Oriente Antigo, particularmente na China, há dois milênios. Naquela época, era comum a representação de sistemas lineares por meio de tabuleiros nos quais os quadrados(casas) eram preenchidos com barras de bambus que identificava os coeficientes das equações. Essas representações auxiliavam na resolução de problemas nos quais as quantidades, eram os incógnitas (EX:X e Y), eram desconhecidas. Pela considerável variedade de questões relacionadas ao tema, os sistemas lineares constituem-se assunto de fundamental importância na Matemática do Ensino Médio.

(Conceito): Denomina-se equação linear toda equação que puder ser escrita na forma: A¹ . 1 + A²  . 2 + A ³ . 3 + ... + An . n = B em que: •X¹, X², X³, ..., Xn são as incógnitas; •A¹, A², A³, ..., An são números reais chamados de coeficientes das incógnitas; •B é o termo independente. (Classificação de um sistema linear) Muitos problemas reais podem ser representados por meio de sistemas lineares. Em função disso, é importante reconhecer o tipo de sistema linear para que a resposta encontrada do sistema seja coerente com o problema real a ser resolvido. Um sistema linear nem sempre admite solução. Além disso, quando admite, esta solução pode não ser a única. (SISTEMA LINEARES HOMOGÊNEOS N x N) Sistemas lineares homogêneos são sistemas formado apenas por equações homogêneas, ou seja, equação cujos termos independentes são todos igual a zero.

Curiosidades da Matemática: Criação do número zero

O número Zero é o número que precede todos os números positivos, e sucede todos os números negativos. É definido como a cardinalidade de um conjunto vazio, e o elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação. Um número de tamanha importância merece seu espaço aqui no nosso blog, portanto hoje iremos comentar um pouco do surgimento deste brilhante algarismo.

O sistema de numeração romana, um dos primeiros criados, como muitos sabem utilizavam as letras, como I, V, X, L, C, D, M na representação de valores. Esse método foi durante muitos séculos o mais utilizado por toda a Europa. Mas e o número zero, tinha alguma letra que o representa-se?

No sistema de numeração romana não se tinha nenhuma letra que representasse o zero, isso porque ao criar esse sistema de numeração, os romanos não queriam realizar cálculos, mas sim criar números representativos para determinar quantidades na hora de por exemplo contar objetos, animais.

Com o desenvolvimento e expansão comercial, a utilização de números para cálculos matemáticos tornou-se uma questão primordial e essencial. E foi justamente nesse momento que os números romanos foram questionados em razão da ausência do zero e da representação de valores por letras. Já que essas características vistas como principais do sistema de numeração dos romanos dificultava o desenvolvimento de técnicas matemáticas eficazes. Alguns romanos até mesmo tentaram salvar esse sistema de numeração relacionando o sistema numérico com a utilização do ábaco, mas necessitava-se de conhecimentos bastante complexos.

Assim como o sistema semelhante ao usado nos dias atuais, o algarismo zero fora então descoberto pelo povo hindu. Em que consistia em uma base decimal, de dez algarismos, que ordenados entre si formavam e representavam qualquer número. Esse novo sistema fora então divulgado por toda a Europa pelos árabes, passando a ser conhecido como sistema de numeração indo-arábico. Esse sistema e seus número contribuíram de forma formidável na modernização e evolução dos cálculos matemáticos, devido a sua praticidade e representação de quantidades.

Mesmo não sendo tão usados hoje em dia, não se pode negar a enorme contribuição que os números romanos deram a sociedade e ao seu desenvolvimento. Atualmente estes números são utilizados na representação de séculos, marcações de relógios, capítulos de livros, entre outros. 

Bom pessoal por ficamos por aqui, espero que tenham gostado da curiosidade de hoje, e não deixe de conferir o blog, todo dia com um post novo! :)

Curiosidades da Matemática: Como é calculada a nota do ENEM?

Como muitos sabem hoje foi aplicada a primeira prova do Exame Nacional do Ensino Médio, e justamente por isso hoje iremos explicar como se calcula a sua nota. 

Muitos acreditam que assim como os tradicionais vestibulares brasileiros no ENEM cada questão corretamente assinalada corresponde a um ponto, mas é um erro acreditar nisso, já que a nota calculada é diferente do que a maioria dos vestibulares adotam. A diferença é a seguinte: o ENEM usa a teoria da resposta ao item, ou simplesmente, TRI, que além de apoiar o cálculo das notas dos participantes também está profundamente ligada a elaboração da prova. 

Mas o que é essa TRI?

Basicamente é um sistema que analisa as questões que o estudante respondeu corretamente e dar um peso específico para cada questão. 

Como é feita essa TRI?

A execução dessa teoria começa com a realização do chamado pré-teste, uma avaliação que afere o grau de dificuldade das questões que mais tarde estarão na sua prova, com essas respostas do pré-teste os examinadores conseguem determinar quais questões são mais ou menos difíceis. Assim, na hora que é feita a correção da sua prova uma questão corretamente analisada não tem valor em si, ela só passará a adquirir algum valor quando o sistema de correção avaliar o desempenho geral do participante na prova e o grau de dificuldade da questão. Isso porque o método não considera apenas os acertos, mas também os erros, assim se o participante acertar somente questões difíceis, o sistema de correção verá uma inconsistência no domínio da disciplina avaliada, já que a TRI considera que o conhecimento necessário à resolução dos testes fáceis é um pré-requisito à solução dos mais complexos. Em uma situação como essa, portanto, o sistema avalia que é alta a probabilidade de o acerto na questão mais completa ser fruto da sorte, ou de bom "chute". Em outras palavras a TRI considera que quem não domina as quatro operações matemáticas básicas não é capaz de resolver equações do segundo grau. Obedecendo à mesma lógica, o sistema deve atribuir uma nota mais alta a outro participante que tenha desempenho mais regular, ainda que ele não se saia tão bem com as questões mais difíceis. Sendo assim, pode-se perceber que o conjunto de respostas corretas deve ser coerente com o domínio de conhecimento que o estudante de fato possui. Por fim, esses dados alimentam um programa previamente calibrado por examinadores, de onde sai a média final. 

Qual o objetivo da TRI?

O objetivo é evitar que o candidato consiga se apoiar na sorte na hora de responder as questões. Assim reforça-se a importância de uma boa preparação para a prova, uma leitura calma e concentrada das questões e uma reflexão aprofundada na hora de respondê-las, onde chute não terá lugar.

Mitos sobre o TRI:

MITO 1: DEIXAR RESPOSTAS EM BRANCO

Nem considere essa possibilidade. O chute em determinada questão pode ser percebido e causar a diminuição da nota, mas vale muito mais do que uma resposta em branco. Exemplificando, uma resposta certa sempre vale mais do que errar ou não responder, sendo fruto de chute ou não.

MITO 2: ADIVINHAR AS PERGUNTAS MAIS DIFÍCEIS

Buscar no ENEM perguntas que garantem mais nota? Além de fazer você perder tempo valioso da prova, não é possível saber quais perguntas são as difíceis.

MITO 3: A TRI VAI DEIXAR MINHA VIDA MAIS DIFÍCIL

Não vá pensar que sua nota irá mudar drasticamente agora. O sistema adotado pelo ENEM não muda significativamente o ranking dos candidatos. Ajuda, sim, para aprofundar e detalhar as notas, podendo contribuir para se evitar empates ou na disputa pelas carreiras muito disputadas, onde até os mínimos detalhes fazem a diferença. Mas a verdade é que com TRI ou sem TRI, o mais preparado é quem irá melhor na média final.

Como podemos ver o processo é totalmente diferente do adotado pelos tradicionais vestibulares brasileiros, essa diferença faz da prova do ENEM uma avaliação mais personalizadas e, na opinião de muitos, mais justas, já que avalia de forma aprofundada o conhecimento do estudante e não tem como principal objetivo eliminar candidatos como nos vestibulares tradicionais.

Bom pessoal por hoje é só, espero que tenha ficado claro como se calcula a nota no ENEM! E a todos que estão fazendo o ENEM, uma boa prova amanhã!

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica que respeita um a lei de formação em que todo termo, a partir do segundo, é obtido através do produto entre o termo anterior e é uma constante q. Essa constante é chamada de razão da progressão geométrica.

Ex. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), onde a razão é 2

A razão pode ser qualquer número racional, exceto o zero e para descobri-la basta escolher qualquer número da sequência e dividir pelo número anterior.

• Termo Geral:

A sequinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma sequência em progressão geométrica:

an = a1 . q(n - 1)

• Interpolação Geométrica:

Interpolar meios geométricos entre dois números quaisquer a₁ e a_n significa determinar os números reais existentes entre a₁ e a_n para que a sequência numérica seja uma PG.

Para realização da interpolação de meios geométricos precisamos utilizar a fórmula do termo geral da PG, como mostra o exemplo:

Uma PG é formada por 6 termos, onde a₁ = 4 e a₆ = 972. Para interpolar os meios geométricos entre 4 e 972 precisamos determinar o valor da razão da PG. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral.

Sabemos que a razão da PG é 3 e que cada termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e a razão. Assim, teremos:

Uma PG é um caso de função exponencial em que o domínio é o conjunto dos números  inteiros positivos.

Função Logarítmica: Parte 2

No post anterior vimos os conceitos básicos de logarítmicos, agora iremos ver aonde estes conceitos serão aplicados e estudados.

• Equação Logarítmica: é toda equação em que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em ambos. Assim, quando uma equação exponencial não puder ser resolvida cancelando e igualando os expoentes, pode-se aplicar log em ambos os membros.

• Função Logarítmica: é toda função em que associa cada número x ao número log de x na base a por meio de y = f(x) = log x na base a, com a > 0 e a ≠ 1. Devemos estar atentos para o gráfico de uma função logarítmica, assim:

→ Quando a > 1, a função é crescente

→ Quando 0 < a < 1, a função é decrescente

Observações: Os gráfico das funções crescente e decrescente não intersectam o eixo das ordenadas (eixo y), além disso, o domínio da função logarítmica é IR*+, e a imagem é IR

• Inequação Logarítmica: é toda inequação que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em ambos. Para resolver uma inequação logarítmica devem-se reduzir os dois membros da inequação a logaritmos da mesma base, cancelar log na base a, e caso a > 1 devemos manter a desigualdade, mas, caso 0 < a < 1 devemos inverter a desigualdade. Não devemos esquecer de considerar as condições de existência do logaritmando e da base.

• Relação ente função exponencial e função logarítmica: a relação que existe entre elas é simples, a função logarítmica é exatamente a inversa da função exponencial.

Bom por hoje ficamos por aqui, não esqueçam de nos visitar todos os dias, já que cada dia temos um post novo! :)

Função Logarítmica: Parte 1

Na função logarítmica,iremos falar um pouco sobre escala Richter,definição do logaritmo, e propriedades dos logaritmos,começando pela escala Richter.

•    Escala Richter:

Foi usada pela primeira vez pelo físico norte-americano Charles Richter,em 1935,a escala Richter é logarítmica-cada grau é uma potência de base 10.Ou seja, de um grau a outro, a amplitude das ondas sísmicas cresce dez vezes.

•      Propriedades dos Logaritmos: 

As propriedades dos logaritmos são diretamente obtidas das propriedades das potencias,um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns grupos finitos,acredita-se que logaritmo discreto seja muito difícil de ser calculando, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis.

•        Mudança de base: 

A partir de um conjunto de valores de logaritmos de certa base, podemos determinar os logaritmos de qualquer número em qualquer outra base.

Na Antiguidade,vários matemáticos se preocupam em obter uma tabela de logaritmos em base 10.Imagine que tenhamos acesso a uma dessas tabelas e queiramos calcular o logaritmo de 2 na base 3, a partir dos logaritmos de 2 e de 3 na base 10.  

                    EX:

   

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número real, sendo que esse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguinte definição geral: 

f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

O gráfico de uma função exponencial é definido de acordo com o valor da base a, observe os dois gráficos a seguir: 

A função exponencial é caracterizada pelo crescimento e decrescimento muito rápido, por isso é muito utilizada na Matemática e em outras ciências correlacionadas com cálculos, como: Química, Biologia, Física, Engenharia, Astronomia, Economia, Geografia, entre outras. Na Matemática, serve para demonstrar o crescimento de um capital aplicado a uma determinada taxa de juros compostos. Na Química está diretamente ligada ao decaimento radioativo, na Biologia se apresenta em situações envolvendo o crescimento de bactérias em uma colônia. Usada também na Geografia no intuito de determinar o crescimento populacional. 

O gráfico de uma função exponencial permite o estudo de situações que se enquadram em uma curva de crescimento ou decrescimento, sendo possível analisar as quantidades relacionadas à curva, por isso os Psicólogos e Educadores utilizam-se da exponencial a fim de demonstrarem as curvas de aprendizagem. 

Em razão dessa propriedade, a função exponencial é considerada uma importante ferramenta da Matemática, abrangendo diversas situações cotidianas e contribuindo de forma satisfatória na obtenção de resultados que exigem uma análise quantitativa e qualitativa.

Funções Trigonométricas

Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos da astronomia, de navegação e de agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco, considerado o pai da astronomia e da trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.

• Função de Seno:

É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes, como mostra a figura a seguir:

Gráfico da função f(x) = sen x:

• Função de cosseno:

É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx.  O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes, representado pela figura:

Gráfico da função f(x) = cosx:

• Função de Tangente:

É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx e é positivo no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes, observe:

Gráfico da função de tangente:

Trigonometria: Conceitos Básicos

• Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

• Medida de um arco é realizada comparando este a um arco único, assim, para cada arco existente na circunferência temos um ângulo central correspondente, ou seja, med(AÔB) = med(AB). Veja o exemplo abaixo:

Os arcos unitários mais usados são: o grau, quando dividimos a circunferência em 360 partes ele será uma dessas 360 partes, não podemos esquecer dos submúltiplos do grau, ou seja, o minuto 1° = 60' e o segundo 1° = 60"; e o radiano que corresponde a um arco que tem comprimento igual ao raio da circunferência, para obter a medida do ângulo, em radianos, basta dividir o comprimento do arco pelo raio.

Para uma circunferência qualquer tem-se: 360° = 2π rad, logo, 180° =  π rad. Assim, usando o conceito aprendido anteriormente de proporção e conversão de unidades temos que 1 rad ≅ 57,3°.

• Circunferência trigonométrica: os ângulos dos arcos podem ser representados por meio do ciclo trigonométrico, para isso deve-se ter uma circunferência com raio unitário, um plano que esteja centrado na circunferência, a origem dos arcos ser o ponto A(1,0), os arcos medidos no sentido horário serem positivos e o dos anti-horário serem negativos, a circunferência ficar dividida em quatro partes, denominadas de quadrantes e numeradas no sentido anti-horário.

Não podemos esquecer de algumas particularidades dos circunferências trigonométricas: 

→ Arcos côngruos que são arcos que quando medidos no mesmo sentido possuem a mesma extremidade e diferem-se na quantidade de voltas. Expressão geral: α + 360º*k (caso a medida seja dado em graus) e α + 2π*k (caso a medida seja dada em radianos), α é a menor determinação ou primeira determinação positiva sendo 0 ≤ α < 360°, ou seja, k = 0.

→ Seno de um arco: é a projeção ortogonal do segmento OM sobre o eixo y, assim, sen α = OM". 

→ Cosseno de um arco: é a projeção ortogonal do segmento OM sobre o eixo x, assim cos α  = OM'.

→ Tangente de um arco: é a medida do segmento AT,  assim, tg α  = AT.

→ Relação fundamental da Trigonometria: sen² α + cos² α = 1.

→ Simetria dos arcos basicamente é a redução ao primeiro quadrante, assim devemos usar formulas especificas variando da posição do arco no quadrante.

1. Arco que pertence ao 2° quadrante: sen (180° - β) = sen β e cos (180° - β) = -cos β, logo, sen (180° - α) = sen α e cos (180° - α) = -cos α.  
2. Arco que pertence ao 3° quadrante: sen (180° + β) = -sen β e cos (180° + β) = -cos β, logo, sen (180° + α) = -sen α e cos (180° + α) = -cos α.
3. Arco que pertence ao 4° quadrante: sen (360° - β) = -sen β e cos (360° - β) = cos β, logo, sen (360° - α) = -sen α e cos (360° - α) = cos α.

Inequação de 2º Grau

O processo de resolução das inequações do 2º grau é quase o mesmo aos do 1º grau. As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades: 

> : maior que 

< : menor que 

≥ : maior ou igual 

≤ : menor ou igual 

≠ : diferente 

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução. O primeiro passo é encontrar as raízes, logo o segundo passo é analisar o sinal da inequação.

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

Logo a solução desta inequação será: S = {x Є R / -7/3 < x < -1}

Terminando esse assunto de funções, no próximo post teremos um nova explicação, o que é uma Progressão Aritmética ! Fique de olho :D

Função Polinomial do 2º Grau

Então, hoje vamos ter uma explicação diferente, andamos dando uma olha em vídeos do site "Me Salva!"  que explicam muito simples e prático.

Entendimento Básico de uma Função do 2º Grau

A Função Polinomial do 2º Grau, também conhecida como Função Quadrática, o que defini uma função de 2º grau? Vai dita de 2º Grau se ela depender, única e exclusivamente, de uma variável "X" elevada a segunda potencia.

Uma função de 2º grau tem a função expressa da seguinte forma: f(x):  a . x² + b . x + c  Sendo  a, b, c coeficientes constates, números reais como 1, 2, - 3, 1/4 1/6..., diferente de 0. Sua representação no plano cartesiano é chamada de PARÁBOLA. 

Vamos ver alguns elementos que são essenciais para nossa função:

• Raízes: São interceptações que cortam o eixo do "X"
• Vértice: É o ponto máximo ou mínimo da parábola. 
• Concavidade: É o que mostra para onde a 'boca' da parábola vai está voltada, se vai ser para cima ou para baixo. 

As raízes e o vértice, são valores mais importantes que devemos encontrar.

Nos vídeos abaixo vamos entender  melhor as propriedades da Função do 2º Grau:

 

Agora vamos aprender como achar as raízes:

E também como achar o vértice:

Para esboçar uma parábola:

E assim, vemos como há maneiras simples de aprender matemática. Continue nos acompanhando, mais tarde vamos ter a Inequação de 2º Grau, não perca!! :D 

Progressão Aritmética

Para esclarecer, o que é um PA? Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2

a2 = 2+5 = 7

a3 = 7 +5 = 12

a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.

Se r = 0, então a PA é constante.

Se r < 0, a PA é decrescente

Termo geral da PA

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

an = a1+(n-1)r

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24

5+19 = 1+23 = 24

7+17 = 1+23 = 24

9+15 = 1+23 = 24

11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula: