Geometria Euclidiana

Bom na matemática, a geometria euclidiana é a geometria em duas ou três dimensões baseada nos postulados de Euclides de Alexandria. Para estudarmos a geometria euclidiana iremos usar alguns conceitos vistos na geometria plana: o ponto, reta e plano. Antes de nos aprofundar em cada detalhe da geometria euclidiana, devemos primeiramente conhecer o conceito de postulados ou axiomas, que nada mais é do que preposições primitivas geométricas aceitas sem demostração.

• Postulados:

1. Dada uma reta r, há vários pontos pertencentes a ela e vários outros não pertencentes a ela. Quando existem dois ou mais pontos pertencentes a uma mesma linha temos pontos colineares ou alinhados.
2. Dado um plano α, existem infinitos pontos que pertencem a ele e infinitos pontos não pertencentes a ele. Quando existem dois ou mais pontos pertencentes a um mesmo plano temos pontos coplanares.
3. Dados dois pontos distintos, existe uma, e somente uma, reta r que passa por eles. Assim, dois pontos distintos sempre serão colineares, e também determinarão uma reta.
4. Se dois pontos distintos pertencem a um plano α, então a reta r que passa pelos pontos está contida ao plano α.
5. Dados três pontos distintos que não pertencem à mesma reta existe um único plano α que passa pelos três pontos.
6. Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas.
7. Conhecido como postulado de Euclides ele afirma que dados um reta r e um ponto P que não pertencem à mesma reta existe uma, e somente uma, reta s paralela a reta r, passando pelo ponto P.
8. Um ponto P que pertence a uma reta r, divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P.
9. Uma reta r que está em um plano α, divide-o em dois semiplanos opostos cuja origem é r.

• Posições relativas entre ponto, reta e plano:

1. Um ponto e uma reta: pode pertencer ou não a uma reta.
2. Um ponto e um plano: pode pertencer ou não a uma plano.
3. Duas retas: se forem complanares, ou seja, pertencerem ao mesmo plano podem ser paralelas, ou seja, são coplanares e não tem ponto em comum, ou podem ser concorrentes, ou seja, têm um único ponto em comum, assim duas retas concorrentes que formam angulo de 90° são chamadas de perpendiculares; se forem reversas, ou seja, não forem coplanares,dadas duas retas reversar pode-se passar uma reta perpendicular a ambas, além de que se essas retas reversas quando formam ângulo reto são denominadas retas ortogonais.
4. Dois planos: paralelos caso não haja nenhum ponto em comum entre dois planos distintos; concorrentes ou secantes caso haja em comum uma reta entre dois planos distintos.
5. Uma reta e um plano: reta paralela ao plano caso não tenha nenhum ponto em comum com o mesmo; reta contida no plano caso todos os pontos da reta pertençam ao plano; reta concorrente a um plano caso a intersecção entre o plano e a reta seja somente um ponto;

• Determinação de um plano:

1. Por três pontos não colineares, conclui-se que são coplanares e cobre eles passa um único plano.
2. Duas retas paralelas.
3. Duas retas concorrentes.
4. Uma reta e um ponto fora dela.

• Perpendicularidade:

1. Uma reta e um plano: quando a reta dor perpendicular a duas retas concorrentes do plano; quando a reta for perpendicular a uma reta e ortogonal a outra, sendo concorrentes do plano α; quando a reta for ortogonal às retas concorrentes do plano.
2. Dois planos: quando uma reta de um dos planos for perpendicular ao outro plano.

Bom pessoal por hoje é só, como sabemos que este assunto pode confundir muitos alunos colocamos alguns exercícios para fixar e praticar aqui, depois de resolvê-los confira o gabarito no final do post :)

1) Sejam r e s duas retas do espaço, não concorrentes. Pode-se afirmar que:

       (A) r e s não são ortogonais.

       (B) r e s são ortogonais.

       (C) r e s são reversas.

       (D) r e s são paralelas.

       (E) existe uma perpendicular comum à r e s.

2) Na determinação de um plano, são suficientes os elementos a seguir:

       (A) Duas retas distintas.

       (B) Uma reta e um ponto.

       (C) Duas retas reversas.

       (D) Duas retas concorrentes.

       (E) N.d.a.

3) Considere as sentenças que seguem:

I. Se dois planos têm um ponto em comum, então terão também outro ponto comum, distinto do primeiro.

II. Três pontos distintos determinam um único plano.

III. A distância entre dois pontos de uma reta é um número real que depende da unidade de medida escolhida.

Assinale a alternativa correta:

    (A) Apenas a II é a falsa.

    (B) I e II são falsas.

    (C) II e III são verdadeiras.

    (D) I, II e III são falsas.

    (E) Apenas a I é verdadeira.

4) Se r é uma reta oblíqua ao plano P, quantos são os planos que contêm r e são perpendiculares a P?

      (A) 0

      (B) 1

      (C) 2

      (D) 4

      (E) Infinitos

5) A seguir foram feitas afirmações sobre geometria espacial, assinale a(s) correta(s).

          1) Toda reta paralela a dois planos, não paralelos, é paralela à interseção deles.

        2) Toda reta que contém dois pontos de um plano pertence a esse plano.

      4) A partir de quatro pontos não coplanares, são definidos exatamente quatro planos distintos.

         8) Três retas concorrentes num único ponto definem um único plano.

         16) Toda reta perpendicular a duas retas não paralelas, pertence ao plano definido por essas duas retas não paralelas.

GABARITO:

1) E   2) D   3) E  4) B  5) 1, 2, 4